Definiciones y Conceptos:
- Hiperbola: Es el lugar geometrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vertices, la cual es una constante positiva.
- Focos: Los focos de la hipérbola son dos puntos. Respecto de ellos, permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipérbola.
- Asintota: se dice que uina recta es asintota de una curva si los puntos que estan, al alejarse indefinidamente del origen, se acercancada vez mas a ala recta sin llegar a intersectarla nunca.
- Excentricidad: se le da el nombre de excentricidad a la relacion entre la distancia focal y el eje real. Igual que en la elipse, se le designa por la letra "e":
e=c/a
- Directrices de la hiperbola: Son dos rectas perpendiculares al eje real y situadad en una distancia centro de la hiperbola.
- Lado recto de la hiperbola: es la cuerda que pasapor uno de los focos y es perpendicular al eje real.
- Elementos de la hipérbola.
En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:
-Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.
-El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
-El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.
-El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
-La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
-Los vértices son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF.
-El eje trasverso o eje real es el segmento AA´.
-El eje no trasverso o eje imaginario es el segmento BB´.
-Longitudes de los ejes.
Tipos y Caracteristicas.
- Hiperbola de eje real paralelo al eje de ordenadas.: en el caso del eje real de la hiperbola sea paralelo al eje de ordenadas, la ecuacion canónica se transforma (cosa facilmente verificable) de esta forma: -(X-Xo)²/b²+(Y-Yo)/a²= 1
- Hiperbola equilatera: Es aquella en la que los semiejes real e imaginario tiene igual longitud. Si una hiperbola es equilatera, su ecuacion se transforma, al sustituir b por a, en una de las siguientes:
(X-Xo)²-((Y-Yo)²=a² ó -(X-Xo)²+(Y-Yo)²=a²
- Tangente a una hiperbola en el punto P(X,Y): Mediante un proceso analago se deduce que la pendiente de la tangete a una hiperbola en el punto P(X.,Y.) es: m= b²(X.,Xo)/a²(Y.,Yo) (si la hiperbola es horizontal)
Leyes- Normas-Teoremas.
- La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es
- con eje transversal horizontal. Y con eje transversal vertical.
- Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
- Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son
y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
- Teorema (propiedad de reflexión)
- La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.
Procedimiento:
- llevamos la ecuacion dada a la forma canonica.
- agrupamos variables y sacamos factor comun respectivamente en cada grupo
- sumamos ambos miembros
- dividimos todos los trminos por el numero independiente de la ecuacion para obtener como resultado un 1 en el miembro de la derecha y simplificamos.
- Estudio de la hiperbola: Ubicamos el centro.
- ubicamos el semieje real y el semieje imaginario .
- unicamos la orientacion de la hiperbola.
- Representacion gráfica: Señalamos en el grafico el centro, los ejes , los vertices (a y A') ; los vertices B y B' a una distancia b del centro sobre el eje imaginario, el rectangulo principal, las asintotas, Trazamos finalmente las ramas de la hiperbola que pueden abrirse jacia arriba y hacia abajo en caso de ser del eje real vertica. o viseversa.
- se halla la semidistancia focal.
- Los vertices del eje real y focos.
- Certices del eje imaginario.
- Excentricidad.
- Disectrices.
- Las ecuaciones.
- Las asintotas.
- El lado recto.
- Dibujamos el grafico final.
