Reglas de Derivacion

Nombre	Enunciado (La regla de derivación expresada en palabras)	Función (Es una generalización)	Función derivada	Ejemplo
				Función	Derivada	Planificación y argumentación
Derivada de una constante	La derivada de una constante es cero.	y = k	y’ = 0	y=ln(2)	y’ =0	Analizo la función, observo que es un número real, no depende de ninguna variable, por lo tanto su derivada es cero.
Derivada de una potencia (exponente un número real)	La derivada de una potencia es el valor del exponente multiplicando a la variable elevada al exponente menos una   unidad	y = xn	y’ = n xn-1			En principio lo que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal manera que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta una unidad.
Derivada de una constante por una función	La derivada de una constante por una función es la misma constante por la derivada de la función.	y=k f(x)	Y’= k f’(x)			Estudio las características de la función, si es el producto de una constante por una función, derivo la función y la multiplico por la misma constante.
Derivada de una suma de  funciones	La derivada de una suma  (o diferencia ) de funciones es la suma (o la diferencia) de las derivadas	Y= f(x)+/-g(x)	Y’= f’(x)+/-g’(x)	y = 3+2x5	y’=0+10x4 y’= 10x4	Analizo la función, se confirma que sea una suma o resta de  funciones y  derivo cada función y se deja sumando o restando, al final si se puede simplificar o agrupar se hace. .
Derivada de un producto de  funciones	La derivada de una producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar	Y=f(x)g(x)	Y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)	Y’=(x^2+5)(x^3)	Y’=(x^2+5)’(x^3)+(x^2+5)(x^3)’ Y’=(2x)(x^3)+(x^2+5)(3x) Y’=2x^4+3x^3	Se percibe cual es la primera función y cual es la segunda. Se coloca la primera derivada por la segunda sin derivar, sumando a la primera sin derivar, por la derivada de la segunda. Se resuelve la derivación y se simplifica.
Derivada de un cociente de  funciones	La derivada de un cociente de funciones es un fracción que tiene por numerador  la derivada  del númerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo dividido entre el denominador original al cuadrado	Y= f(x)       g(x)	Y’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x)                g(x)^2			Se estudia la función. Se identifica la función que esta en el numerador y la que esta en el denominador. Se escribe la derivada del numerador por el denominador y se le resta el numerador por la derivada del denominador, y se divide todo entre el denominador elevado al cuadrado. Se  sugiere no desarrollar el denominador
Derivada de logaritmo neperiano	La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a uno entre x. La derivada del logaritmo neperiano de una función es igual a la derivada de la función dividida entre dicha función.	Y= ln(x) Y=ln(u)	Y’=e^x Y’=a^x.lna			Se determina que tipo de logaritmo es. Si la función es el logaritmo neperiano de x, para derivar se coloca uno entre x. Y si es el logaritmo neperiano de una función se derivada  la función y se divide entre la misma función sin derivar.
Derivada de exponencial	La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente. La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.	Y=e^x Y= a^x Y=a^u	Y’=e^x Y’=a^x.lna Y’=u’.a^u.lna	f(x)= 3^x	f’(x)=3^x.ln3	Se examina  la función para ver que tipo de exponencial es. Si es e^x la derivada es la misma expresión. Si es a^x se coloca la misma expresión multiplicando al logaritmo neperiano de la base. Finalmente si es del tipo a^u, se escribe la derivada del exponente por la expresión original por el logaritmo neperiano de la base.

    

Función trigonométrica	Derivada
y=cos (x) y=sen(x) y=tg(x) y=ctg(x) y=sec(x) y=csc(x)	Y’=-sen(x) Y’=cos(x) Y’=sec^2(x) Y’=-csc^2(x) Y’=sec(x).tag(x) Y’=-csc(x).cotg(x)

Las cónicas. Lugar geometrico. LA HIPERBOLA.

Definiciones y Conceptos:

• Hiperbola:  Es el lugar geometrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vertices, la cual es una constante positiva.

• Focos: Los focos de la hipérbola son dos puntos. Respecto de ellos, permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipérbola.

• Asintota: se dice que uina recta es asintota de una curva si los puntos que estan, al alejarse indefinidamente del origen, se acercancada vez mas a ala recta sin llegar a intersectarla nunca.

• Excentricidad: se le da el nombre de excentricidad a la relacion entre la distancia focal y el eje real. Igual que en la elipse, se le designa por la letra "e":

e=c/a

• Directrices de la hiperbola: Son dos rectas perpendiculares al eje real y situadad en una distancia centro de la hiperbola.

• Lado recto de la hiperbola: es la cuerda que pasapor uno de los focos y es perpendicular al eje real.

• Elementos de la hipérbola.

En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

-Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.

-El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.

-El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.

-El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.

-La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.

-Los vértices son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF.

-El eje trasverso o eje real es el segmento AA´.

-El eje no trasverso o eje imaginario es el segmento BB´.

-Longitudes de los ejes.

Tipos y Caracteristicas.

• Hiperbola de eje real paralelo al eje de ordenadas.: en el caso del eje real de la hiperbola sea paralelo al eje de ordenadas, la ecuacion canónica se transforma (cosa facilmente verificable) de esta forma:    -(X-Xo)²/b²+(Y-Yo)/a²= 1

• Hiperbola equilatera: Es aquella en la que los semiejes real e imaginario tiene igual longitud. Si una hiperbola es equilatera, su ecuacion se transforma, al sustituir b por a, en una de las siguientes:

(X-Xo)²-((Y-Yo)²=a²                    ó                        -(X-Xo)²+(Y-Yo)²=a²        

• Tangente a una hiperbola en el punto P(X,Y): Mediante un proceso analago se deduce que la pendiente de la tangete a una hiperbola en el punto P(X.,Y.) es:    m= b²(X.,Xo)/a²(Y.,Yo) (si la hiperbola es horizontal)

Leyes- Normas-Teoremas.

• La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es

• con eje transversal horizontal. Y con eje transversal vertical.

• Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
  
• Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

• Teorema (propiedad de reflexión)
• La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

Procedimiento:

•  llevamos la ecuacion dada a la forma canonica.
•  agrupamos variables y sacamos factor comun respectivamente en cada grupo
• sumamos ambos miembros
• dividimos todos los trminos por el numero independiente de la ecuacion para obtener como resultado un 1 en el miembro de la derecha y simplificamos.
• Estudio de la hiperbola: Ubicamos el centro.
• ubicamos el semieje real y el semieje imaginario .
• unicamos la orientacion de la hiperbola. 
•  Representacion gráfica: Señalamos en el grafico el centro, los ejes , los vertices (a y A') ; los vertices B y B' a una distancia b del centro sobre el eje imaginario, el rectangulo principal, las asintotas, Trazamos finalmente las ramas de la hiperbola que pueden abrirse jacia arriba y hacia abajo en caso de ser del eje real vertica. o viseversa.
•  se halla la semidistancia focal. 
• Los vertices del eje real y focos.
•  Certices del eje imaginario.
• Excentricidad.
• Disectrices.
• Las ecuaciones.
• Las asintotas.
•  El lado recto.
•  Dibujamos el grafico final.
  

formulas, Gráficas y ejercicios "tipo".

Triángulos.

El triángulo:

El triángulo es un polígono de tres lados que se forma por la unión de tres rectas en tres vértices opuestos. Estas rectas forman cada uno de los lados de la figura. La unión de dos de los lados del triángulo forma los ángulos internos de éste. Entonces, si el triángulo tiene tres vértices, tendrá siempre tres ángulos cuya suma será siempre 180º.

El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más importante, tanto por la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear, como por tratarse de la figura que servirá de base para la construcción de otras más complejas, tanto planas como espaciales.

En la figura puede verse la forma en que se denomina a los lados y a los vértices de un triángulo. Los ángulos, en cambio, se denominan con letras del alfabeto griego. El ángulo que se forma en el vértice A se denomina a (alfa), el del vértice B es b (beta) y g (gama) al que se forma en el vértice C.

 

-Clasificación de los triángulos según la amplitud de sus ángulos:

 

   Acutángulo: Un triángulo que tiene todos sus ángulos menores a 90° (90° se llama ángulo recto)

 

   Rectángulo:  Se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) ó π/2 radianes.

 

   Obtusángulo: Un triángulo que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°) y los otros dos lados son agudos (menor de 90°).

 

 

 

-Clasificación de los triángulos segun el tamaño de sus lados:

 

 

• Equilatero: Un triángulo con todos los tres lados de la misma longitud que presentan tres angulos agudos e iguales a 60°.

 

•  Isósceles: Triángulo en el que al menos dos lados son congruentes. A los lados congruentes se les llama catetos. El ángulo formado por los catetos es el ángulo vértice. Los otros dos ángulos son los ángulos base. La base es el lado opuesto al ángulo vértice.

• Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

·         Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.   

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos. 

• Escaleno: todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

                                           

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

-Rectas y puntos notables de un triangulo:

   Altura: Una altura del triángulo es una recta que pasa por un vértice y que es perpedicular al lado opuesto.

         

Por su puesto que aquí también hay una altura para cada lado del triángulo. Y como te podrías imaginar también las alturas se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO. las alturas no se intersectan dentro del triángulo entonces hay que prolongarlas para ver el punto de intersección.

Mediana: Sea ABC un triangulo cualquiera y  A' B' y C'  los centros respectivos de los lados [BC], [AC] y [AB]. Las medianas son las tres rectas que unen cada vertice del triangulo con el centro del lado opuesto.

En un triángulo equilatero las medianas se confunden con las mediatrices de los lados, con las alturas del triángulo, y las bisectrices de los tres ángulos.

Como te podrás imaginar en un triángulo habrá tres medianas, una para cada vétice. Lo interesante es que las tres medianas se intersectan en un punto llamado BARICENTRO .

      Mediatriz:  el punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son A y B es aquél que está a la misma distancia de A y B.

La recta que es perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio se llama Mediatriz.

 

A continuación mostramos un triángulo cuyos vértices son A, B y C. Si D es el punto medio del lado AC entonces la recta perpendicular a AC que pasa por el punto D será una mediatriz.

Claro está que también habrán tres mediatrices por triángulo y estas tres mediatrices se intersectan en un punto llamado CIRCUNCENTRO.

  Bisectriz: es la recta que corta un ángulo exactamente a la mitad. En el caso de un triángulo la bisectriz corta a la mitad un ángulo interior.

Nuevamente aquí habrá tres bisectrices que se intersectarán en un punto llamado INCENTRO

     Ortocentro:

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:





Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.


La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.


Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.



Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:
Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.


Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.




Baricentro: Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.


       






"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"






             


Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.






A la vista de los anterior, se observa que:




GA = 2GA' (la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)


GB = 2GB' (la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )


GC = 2GC' (la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )


Circuncentro: Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .


Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluímos:
-Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.


-El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.


Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.


        

Incentro: Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluímos:

-Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.

-El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

             

   Nature by Numbers:  

a)

En el vídeo existe la presencia de las teselacion de Voronoi o polígonos de theissen, esta esta basada en la unión constante  de mediatrices de recta, sin embargo la teoría esta complementada por la triangulación de Delanuy, cabe destacar que para realizar a la perfección los polígonos de Thiessen se debe comenzar por la triangulación de Delanuy la cual facilita la unión de dichas mediatrices en los incentros de dichos triángulos. Aunque sí pusiéramos puntos arbitrarios no necesariamente se cumpliria la triangulación de Delanuy ya que ésta viene acompañada de La Condiciòn de Delanuy, que se cumple sí y solo sí las circunferencias circunscritas de la red de triángulos son "vacías", esto quiere decir que los puntos unidos entre sí para formar los triángulos no pertenecen a una misma circunferencia; los Polígonos de Thiessen se pueden apreciar en distintas formas naturales como las alas de los insectos o la ramificación capilares vegetales, aunque si comparamos un ala de una libélula real existen la desigualdades aunque estas están compuestas por polígonos muy similares a los de Thiessen.

b) Mi opinión: El video me parecicio bastante impactante, ya que la naturaleza esta muy involucrada en la geometria, la matematica entre otros. En realidad me parecio bastante sobresaliente, y me gusto mucho verlo, tomando en cuenta que aumentamos nuestro conocimiento en bastantes cosas y nos damos cuentas que las cosas que estamos aprendiendo en la universidad no solo las vemos en un pizarron escritas, sino que tambien podemos apreciarlas en el mundo, la naturaleza, en problemas o situaciones de la vida cotidiana. Aquí dejo el link del video : http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA  y el link que explica las taorias de donde surgio este video : http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm.

¡GRACIAS!            Feliz día :)